Анализ характеристик меры риска Хазендонга-Говарца при формировании оптимального портфеля и статистическая оценка их достоверности
Изменения в мировой экономике, которые принес финансовый кризис, диктуют необходимость введения новых стандартов в управлении рисками. В статье приводится методика формирования оптимального инвестиционного портфеля с помощью меры риска Хазендонга-Говарца, которую можно предложить для использования в новых экономических условиях. Также рассмотрен аспект статистической оценки достоверности полученных параметров данной меры.
Для преодоления последствий финансового кризиса, нанесшего серьезный ущерб финансовому сектору, Базельский комитет по банковскому надзору принял решение об изменении международных стандартов оценки достаточности капитала, закрепленных в документе, известном под названием Базельское соглашение. Внедрение Базельских стандартов (Базель II, Базель П.5, Базель III и III. 5) требует от участников банковского сектора серьезных действий в дальнейшем развитии собственных методик и систем по поддержанию достаточности капитала и управлению рисками.
В истории измерения риска, использованию подлежали многие показатели, например: вероятность потерь, VaR, CVaR, CTE, энтропийные меры риска, спектральные меры риска. До недавнего времени, мера VaR считалась своеобразным «стандартом» измерения. Однако, VaR обладает рядом минусов, которыми не должны обладать «эффективная» мера: это отсутствие субаддитивности, неспособность отражения эффектов «толстых хвостов» распределений.
Подобных недостатков избежали когерентные меры риска. Анализ когерентных мер был начат в основополагающей работе Арцнера и др.(1999). По Арцнеру, наиболее эффективные меры риска должны обладать следующими свойствами: монотонность, трансляционная инвариантность, положительная однородность, субаддитивность. Мера риска Хазендонга- Говарца относится к когерентным мерам риска и в силу своей малой изученности представляет собой определенный интерес.
Кроме наличия минусов у способов измерения и контроля риска, применяющихся в настоящее время, необходимость использования новой редакции Базельских стандартов диктует поиск новых мер риска, применяющихся управления рисками.
В данной работе предлагается определение меры риска Хазендонга-Говарца (ХГ) и методика нахождения оптимальных портфелей, построенных при расчете риска с помощью меры Хазендонга-Говарца (далее, ХГ). По итогам эксперимента, сравним оптимальные портфели, сформированные с помощью использования таких методов оценки риска, как: расчет среднего квадратического отклонения (MAD); CVaR; мера риска ХГ с различными функциями Юнга.
Целью работы является анализ характеристик меры риска ХГ, с которыми можно добиться наибольших доходностей при минимизации величин показателей риска и оценка достоверности данных характеристик.
В общем смысле под инвестиционным портфелем понимается некая совокупность ценных бумаг и финансовых активов для вложения средств, принадлежащих физическому или юридическому лицу, выступающая как целостный объект управления5. Также, при формировании портфеля и в дальнейшем изменяя его состав и структуру, управляющий должен принимать во внимание новое производное соотношение — риск/доходность. Кривую, содержащую множество портфелей с максимальной ожидаемой доходностью для некоторого уровня риска и с минимальным риском при некотором значении доходности, будем считать эффективной границей.
Определение оптимальных портфелей по отношению к мере риска ХГ можно представить как вложенную минимизацию. Обозначим Х={Х1,… , Хп) – случайный вектор доходностей активов, г = Е[Х] – их ожидаемые значения, w = (w1(…, wn) – веса портфеля и tp – целевой ожидаемый доход портфеля., х – пороговая величина допустимых потерь. Теперь оптимизационная задача может быть записана как
mm{jra((—ДТ • IV — х)+) + х] (1)
где iyA{w£En:Wj>OHW-l: (2)
Введем еще несколько понятий. Пусть средние потери
превышения равны к X — х+ ] , где E – математическое ожидание. Параметр а связан в однозначном соответствии со степенью неприятия потерь, при а = 0 инвестор должен быть безразличен к потерям, при значении близком к 1 – имеется дело с максимальным обхождение потерь.
В основе определения мер ХГ лежит величина Jta (Х,х), определяемая следующим образом.
Определение: Пусть а е [0; 1), x<sup(X)- некоторое число. 7Га(Х,Х) это корень уравнения
( {х-А ‘
кла(Х,х)-ху
Определение : мерой риска ХГ называется величина
(4)
-00<AT<SUp[X]
Нормализованной функцией Юнга называется функция Ф: [0 +оо)—> [0 +°°), со следующими свойствами: непрерывность; неубывание; Ф(0)=0, Ф(1)=1, Ф(+“>)= -н»; выпуклость. Иногда, функцию Юнга Ф интерпретируют как функцию потерь, тогда при таком подходе принцип меры риска ХГ может быть связан с принципами среднего значения и принципом нулевой полезности.
С помощью программного алгоритма, разработанного в ходе работы по формированию оптимальных инвестиционных портфелей на основе вычисления значений различных мер риска, был реализован вычислительный эксперимент на базе массива исторических данных котировок ценных бумаг российского и мирового фондового рынка.
Вычислительный эксперимент проводился со следующими ограничительными условиями:
- под портфелем был взят вектор X = (Хг, …,ХП);
- структура портфеля задана долями xi, каждой акции
п
i=1,2…n, в портфеле, причем = 1 ;
I —1
- короткие продажи не разрешены;
- вес каждой акции в портфеле неотрицателен.
Параметр а берем равным 0,95, что говорит о нежелании
инвестора рисковать, однако возможность существования риска не отвергается. Другими словами, вероятность того, что полученные значения доходностей не меньше заданного порогового значения, составляется 95%.
На входе численного эксперимента были взяты наборы акций с различными периодами наблюдений (1 месяц, 6 месяцев, 1 год) и различными составами акций (российские, иностранные, смешанные наборы.)
На выходе получили минимизированные величины мер риска и соответствующие этим значения доходности с весами данных портфелей.
Для выбора оптимальных портфелей, построим эффективную границу. При построении использовались методы расчета риска:
- расчет среднего квадратического отклонения;
- мера риска ХГ с Ф^)= и CVaR, как ее аналог по вычислению;
- мера риска ХГ с Ф^)=Е;
Будем считать поставленной перед нами задачей выбор характеристик меры риска, обеспечивающей эффективные оптимальные портфели с наиболее высокими значениями минимальных доходностей.
Результаты во всех рассчитанных случаях по измерению мера риска ХГ с Ф^)=Е дают минимальные доходности выше, чем при расчете риска по всем остальным подходам. Ниже приведены наиболее показательные случаи.
На основе результатов проведенного численного эксперимента, можно сделать предположение о наличии тенденции получения наиболее высоких значений минимальных доходностей при формировании оптимальных портфелей с помощью мера риска ХГ с Ф(^=Е. По итогам сравнения оптимальных портфелей, сформированных с помощью использования таких методов оценки риска, как: расчет среднего квадратического отклонения; CVaR и идентичная ей по результатам мера риска ХГ с ФЦ)=Е; мера риска ХГ с Ф^)=Е; можно выдвинуть гипотезу о предпочтении использования меры риска ХГ всем мерам, которые были использованы в ходе моделирования.
Выбирая для дальнейшей работы меру риска, помимо подтверждений эффективности ее использования, необходимо также руководствоваться достоверностью полученных оценок меры риска, то есть соответствие их реальности. Для этого проводится оценка достоверности полученных параметров.
В математической статистике к оценке числовых параметров предъявляются следующие требования:
- Оценка параметра называется несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемой характеристике случайной величины.
Таблица 1
MAD |
CVaR и 0(t)=t |
|||||
значения меры риска |
значения доходности |
значения меры риска CVaR |
значения доходности |
значения меры риска ХГ при 0(t)=t |
значения меры риска |
значения доходности |
0,209533 |
-0,0330146 |
0,5789563 |
-0,0145206 |
0,703956317 |
0,553956 |
-0,002521 |
0,21049 |
-0,023008 |
0,5792483 |
-0,0065689 |
0,704248281 |
0,554248 |
0,0054311 |
0,21329 |
-0,0130015 |
0,5825283 |
0,0013828 |
0,707528339 |
0,557528 |
0,0093828 |
0,21856 |
-0,0029949 |
0,5935909 |
0,0093344 |
0,718590861 |
0,568591 |
0,0183344 |
0,228026 |
0,00701168 |
0,6113732 |
0,0172861 |
0,736373229 |
0,586373 |
0,0252861 |
0,242717 |
0,01701826 |
0,6364745 |
0,0252378 |
0,761474509 |
0,611475 |
0,0332378 |
0,261502 |
0,02702483 |
0,6687157 |
0,0331895 |
0,793715733 |
0,643716 |
0,0501895 |
0,282871 |
0,0370314 |
0,7049536 |
0,0411412 |
0,829953612 |
0,679954 |
0,0701412 |
0,306678 |
0,04703798 |
0,7450555 |
0,0490929 |
0,870055508 |
0,720056 |
0,0840929 |
0,33244 |
0,05704455 |
0,7890259 |
0,0570446 |
0,914025862 |
0,764026 |
0,1070446 |
Таблица 2
MAD |
CVaR и 0(t)=t |
0(t) = t2 |
||||
значения меры риска |
значения доходности |
значения меры риска CVaR |
значения доходности |
значения меры риска ХГ при 0(t)=t |
значения меры риска |
значения доходности |
0,1645 |
0,01300808 |
0,3192883 |
0,1387417 |
0,582288269 |
0,517288 |
0,1507417 |
0,164711 |
0,0333664 |
0,3213438 |
0,1451296 |
0,584343797 |
0,519344 |
0,1571296 |
0,165526 |
0,05372471 |
0,3273544 |
0,1515175 |
0,59035438 |
0,525354 |
0,1595175 |
0,166979 |
0,07408303 |
0,339223 |
0,1579054 |
0,602223011 |
0,537223 |
0,1669054 |
0,169166 |
0,09444134 |
0,358335 |
0,1642933 |
0,625335001 |
0,550335 |
0,1722933 |
0,172335 |
0,11479966 |
0,3807784 |
0,1706812 |
0,64377844 |
0,568778 |
0,1786812 |
0,177601 |
0,13515797 |
0,4074086 |
0,1770692 |
0,670408593 |
0,595409 |
0,1940692 |
0,196176 |
0,15551629 |
0,4357005 |
0,1834571 |
0,698700532 |
0,633701 |
0,2124571 |
0,2348 |
0,17587461 |
0,4668141 |
0,189845 |
0,729814085 |
0,664814 |
0,239845 |
0,28684 |
0,19623292 |
0,5007848 |
0,1962329 |
0,763784826 |
0,698785 |
0,2462329 |
Таблица 3
MAD |
CVaR и 0(t)=t |
0(t) = t2 |
||||
значения меры риска |
значения доходности |
значения меры риска CVaR |
значения доходности |
значения меры риска ХГ при 0(t)=t |
значения меры риска |
значения доходности |
0,197698 |
0,02034988 |
0,3888381 |
0,2375095 |
1,248838077 |
1,398838 |
0,2455095 |
0,199079 |
0,06253755 |
0,3899751 |
0,2555683 |
1,249975142 |
1,399975 |
0,2675683 |
0,203972 |
0,10472521 |
0,3912657 |
0,2736271 |
1,251265748 |
1,401266 |
0,2816271 |
0,212942 |
0,14691288 |
0,3926591 |
0,2916859 |
1,252659072 |
1,402659 |
0,3006859 |
0,224695 |
0,18910055 |
0,3968821 |
0,3097448 |
1,25688213 |
1,406882 |
0,3177448 |
0,239036 |
0,23128821 |
0,4063291 |
0,3278036 |
1,266329096 |
1,416329 |
0,3358036 |
0,25475 |
0,27347588 |
0,4210437 |
0,3458624 |
1,275043686 |
1,425044 |
0,3628624 |
0,272104 |
0,31566354 |
0,4374462 |
0,3639212 |
1,29744621 |
1,447446 |
0,3829212 |
0,299092 |
0,35785121 |
0,4570502 |
0,3819801 |
1,31705017 |
1,46705 |
0,4019801 |
0,339979 |
0,40003888 |
0,4824229 |
0,4000389 |
1,342422885 |
1,492423 |
0,4500389 |
В данной работе необходимо оценить достоверность полученных значений мер риска. В результате вычислительного эксперимента, вышеописанные условия выполнялись, следовательно, параметры достоверные:
Значения меры не имели систематических ошибок в сторону завышения или в сторону занижения относительно значения математического ожидания,
при увеличении величины выборки полученные значения сходятся к матожиданию по выборке,
дисперсия по мере ХГ была наименьшая.
Таким образом, выполнение данных требований свидетельствует о достоверности оценки и решение можно считать устойчивым.
В работе приведено моделирование оптимальных портфелей с помощью меры риска ХГ и, осуществляется численный эксперимент на реальных наборах акций. В результате построения мер риска, была определена мера, позволяющая добиться наибольших значений доходности при минимизации риска. Была проведена проверка достоверности полученных значений мер риска.
Методика Базеля III. 5 обязывает банки, при нежелании использовать стандартные методики оценки риска, использовать свои собственные модели оценки и управления рисками. Новые стандарты, в частности, предусматривают повышенные требования к качеству и достаточности капитала финансовых организаций. Тогда, предложенная в этой статье мера риска Хазендонга-Говарца может позволить банкам создавать собственные методики для более эффективного управления системой по поддержанию достаточности капитала и управлению рисками.
Весь исторический экономический опыт показал, что краеугольным камнем успешного развития и процветания финансовых институтов являются предварительный анализ и стратегическая оценка. Особенно остро вопрос своевременности и адекватности реакции встает в период экономической нестабильности, в котором мы сейчас находимся. Компании должны оставаться готовыми к последующим изменениям, и разработка новых мер измерения риска способна помочь адекватно реагировать на наступающие перемены. Рассмотренную в статье меру риска ХГ, при ее явных достоинствах, вполне можно рекомендовать для использования банкам и другим финансовым организациям.
ЛАКМАН Ирина Александровна – кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной математики и кибернетики Уфимского государственного авиационного технического университета.
Статья опубликована в Евразийском юридическом журнале № 12 (91) 2015