Анализ характеристик меры риска Хазендонга-Говарца при формировании оптимального портфеля и статистическая оценка их достоверности

 Изменения в мировой экономике, которые принес финансовый кризис, диктуют необходимость введения новых стандартов в управлении рисками. В статье приводится методика формирования оптимального инвестиционного портфеля с помощью меры риска Хазендонга-Говарца, которую можно предложить для использования в новых экономических условиях. Также рассмотрен аспект статистической оценки достоверности полученных параметров данной меры.

Для преодоления последствий финансового кризиса, на­несшего серьезный ущерб финансовому сектору, Базельский комитет по банковскому надзору принял решение об изме­нении международных стандартов оценки достаточности ка­питала, закрепленных в документе, известном под названием Базельское соглашение. Внедрение Базельских стандартов (Ба­зель II, Базель П.5, Базель III и III. 5) требует от участников бан­ковского сектора серьезных действий в дальнейшем развитии собственных методик и систем по поддержанию достаточно­сти капитала и управлению рисками.

В истории измерения риска, использованию подлежа­ли многие показатели, например: вероятность потерь, VaR, CVaR, CTE, энтропийные меры риска, спектральные меры ри­ска. До недавнего времени, мера VaR считалась своеобразным «стандартом» измерения. Однако, VaR обладает рядом мину­сов, которыми не должны обладать «эффективная» мера: это отсутствие субаддитивности, неспособность отражения эф­фектов «толстых хвостов» распределений.

Подобных недостатков избежали когерентные меры риска. Анализ когерентных мер был начат в основополагающей работе Арцнера и др.(1999). По Арцнеру, наиболее эффектив­ные меры риска должны обладать следующими свойствами: монотонность, трансляционная инвариантность, положитель­ная однородность, субаддитивность. Мера риска Хазендонга- Говарца относится к когерентным мерам риска и в силу своей малой изученности представляет собой определенный инте­рес.

Кроме наличия мину­сов у способов измерения и контроля риска, применя­ющихся в настоящее время, необходимость использова­ния новой редакции Базель­ских стандартов диктует поиск новых мер риска, применяю­щихся управления рисками.

В данной работе предлагается определение меры риска Хазендонга-Говарца (ХГ) и методика нахождения оптималь­ных портфелей, построенных при расчете риска с помощью меры Хазендонга-Говарца (далее, ХГ). По итогам эксперимен­та, сравним оптимальные портфели, сформированные с помо­щью использования таких методов оценки риска, как: расчет среднего квадратического отклонения (MAD); CVaR; мера ри­ска ХГ с различными функциями Юнга.

Целью работы является анализ характеристик меры ри­ска ХГ, с которыми можно добиться наибольших доходностей при минимизации величин показателей риска и оценка до­стоверности данных характеристик.

В общем смысле под инвестиционным портфелем по­нимается некая совокупность ценных бумаг и финансовых активов для вложения средств, принадлежащих физическому или юридическому лицу, выступающая как целостный объект управления⁵. Также, при формировании портфеля и в даль­нейшем изменяя его состав и структуру, управляющий дол­жен принимать во внимание новое производное соотношение — риск/доходность. Кривую, содержащую множество портфелей с максимальной ожидаемой доходностью для некоторого уровня риска и с минимальным риском при некотором значе­нии доходности, будем считать эффективной границей.

Определение оптимальных портфелей по отношению к мере риска ХГ можно представить как вложенную минимизацию. Обо­значим Х={Х₁,… , Х_п) – случайный вектор доходностей акти­вов, г = Е[Х] – их ожидаемые значения, w = (w₁₍…, w_n) – веса портфеля и tp – целевой ожидаемый доход портфеля., х – пороговая величина допустимых потерь. Теперь оптимизационная задача может быть записана как

mm{jr_a((—ДТ • IV — х)⁺) + х]                                                         (1)

где iyA{w£Eⁿ:Wj>OHW-l:                        (2)

Введем еще несколько понятий. Пусть средние потери

превышения равны к X — х₊ ] , где E – математическое ожидание. Параметр а связан в однозначном соответствии со степенью неприятия потерь, при а = 0 инвестор должен быть безразличен к потерям, при значении близком к 1 – имеется дело с максимальным обхождение потерь.

В основе определения мер ХГ лежит величина Jt_a (Х,х), определяемая следующим образом.

Определение: Пусть а е [0; 1), x<sup(X)- некоторое чис­ло. 7Г_а(Х,Х) это корень уравнения

( {х-А ‘

_кл_а(Х,х)-х_у

Определение : мерой риска ХГ называется величина

(4)

-00<AT<SUp[X]

Нормализованной функцией Юнга называется функция Ф: [0 +оо)—> [0 +°°), со следующими свойствами: непрерыв­ность; неубывание; Ф(0)=0, Ф(1)=1, Ф(+“>)= -н»; выпуклость. Иногда, функцию Юнга Ф интерпретируют как функцию по­терь, тогда при таком подходе принцип меры риска ХГ может быть связан с принципами среднего значения и принципом нулевой полезности.

С помощью программного алгоритма, разработанного в ходе работы по формированию оптимальных инвестицион­ных портфелей на основе вычисления значений различных мер риска, был реализован вычислительный эксперимент на базе массива исторических данных котировок ценных бумаг российского и мирового фондового рынка.

Вычислительный эксперимент проводился со следующи­ми ограничительными условиями:

1. под портфелем был взят вектор X = (Х_г, …,Х_П);
2. структура портфеля задана долями xi, каждой акции

п

i=1,2…n, в портфеле, причем                           = 1 ;

I —1

3. короткие продажи не разрешены;
4. вес каждой акции в портфеле неотрицателен.

Параметр а берем равным 0,95, что говорит о нежелании

инвестора рисковать, однако возможность существования ри­ска не отвергается. Другими словами, вероятность того, что полученные значения доходностей не меньше заданного поро­гового значения, составляется 95%.

На входе численного эксперимента были взяты наборы акций с различными периодами наблюдений (1 месяц, 6 ме­сяцев, 1 год) и различными составами акций (российские, ино­странные, смешанные наборы.)

На выходе получили минимизированные величины мер риска и соответствующие этим значения доходности с весами данных портфелей.

Для выбора оптимальных портфелей, построим эффек­тивную границу. При построении использовались методы расчета риска:

1. расчет среднего квадратического отклонения;
2. мера риска ХГ с Ф^)= и CVaR, как ее аналог по вычис­лению;
3. мера риска ХГ с Ф^)=Е;

Будем считать поставленной перед нами задачей выбор характеристик меры риска, обеспечивающей эффективные оптимальные портфели с наиболее высокими значениями ми­нимальных доходностей.

Результаты во всех рассчитанных случаях по измерению мера риска ХГ с Ф^)=Е дают минимальные доходности выше, чем при расчете риска по всем остальным подходам. Ниже приведены наиболее показательные случаи.

На основе результатов проведенного численного экспери­мента, можно сделать предположение о наличии тенденции получения наиболее высоких значений минимальных доход­ностей при формировании оптимальных портфелей с помо­щью мера риска ХГ с Ф(^=Е. По итогам сравнения оптималь­ных портфелей, сформированных с помощью использования таких методов оценки риска, как: расчет среднего квадратиче­ского отклонения; CVaR и идентичная ей по результатам мера риска ХГ с ФЦ)=Е; мера риска ХГ с Ф^)=Е; можно выдвинуть гипотезу о предпочтении использования меры риска ХГ всем мерам, которые были использованы в ходе моделирования.

Выбирая для дальнейшей работы меру риска, помимо подтверждений эффективности ее использования, необходи­мо также руководствоваться достоверностью полученных оце­нок меры риска, то есть соответствие их реальности. Для этого проводится оценка достоверности полученных параметров.

В математической статистике к оценке числовых параме­тров предъявляются следующие требования:

1. Оценка параметра называется несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемой характеристи­ке случайной величины.

 

Таблица 1

MAD		CVaR и 0(t)=t			0(t)=t[9] [10]
значения меры риска	значения доходности	значения меры риска CVaR	значения доходности	значения меры риска ХГ при 0(t)=t	значения меры риска	значения доходности
0,209533	-0,0330146	0,5789563	-0,0145206	0,703956317	0,553956	-0,002521
0,21049	-0,023008	0,5792483	-0,0065689	0,704248281	0,554248	0,0054311
0,21329	-0,0130015	0,5825283	0,0013828	0,707528339	0,557528	0,0093828
0,21856	-0,0029949	0,5935909	0,0093344	0,718590861	0,568591	0,0183344
0,228026	0,00701168	0,6113732	0,0172861	0,736373229	0,586373	0,0252861
0,242717	0,01701826	0,6364745	0,0252378	0,761474509	0,611475	0,0332378
0,261502	0,02702483	0,6687157	0,0331895	0,793715733	0,643716	0,0501895
0,282871	0,0370314	0,7049536	0,0411412	0,829953612	0,679954	0,0701412
0,306678	0,04703798	0,7450555	0,0490929	0,870055508	0,720056	0,0840929
0,33244	0,05704455	0,7890259	0,0570446	0,914025862	0,764026	0,1070446

Таблица 2

MAD		CVaR и 0(t)=t			0(t) = t2
значения меры риска	значения доходности	значения меры риска CVaR	значения доходности	значения меры риска ХГ при 0(t)=t	значения меры риска	значения доходности
0,1645	0,01300808	0,3192883	0,1387417	0,582288269	0,517288	0,1507417
0,164711	0,0333664	0,3213438	0,1451296	0,584343797	0,519344	0,1571296
0,165526	0,05372471	0,3273544	0,1515175	0,59035438	0,525354	0,1595175
0,166979	0,07408303	0,339223	0,1579054	0,602223011	0,537223	0,1669054
0,169166	0,09444134	0,358335	0,1642933	0,625335001	0,550335	0,1722933
0,172335	0,11479966	0,3807784	0,1706812	0,64377844	0,568778	0,1786812
0,177601	0,13515797	0,4074086	0,1770692	0,670408593	0,595409	0,1940692
0,196176	0,15551629	0,4357005	0,1834571	0,698700532	0,633701	0,2124571
0,2348	0,17587461	0,4668141	0,189845	0,729814085	0,664814	0,239845
0,28684	0,19623292	0,5007848	0,1962329	0,763784826	0,698785	0,2462329

Таблица 3

MAD		CVaR и 0(t)=t			0(t) = t2
значения меры риска	значения доходности	значения меры риска CVaR	значения доходности	значения меры риска ХГ при 0(t)=t	значения меры риска	значения доходности
0,197698	0,02034988	0,3888381	0,2375095	1,248838077	1,398838	0,2455095
0,199079	0,06253755	0,3899751	0,2555683	1,249975142	1,399975	0,2675683
0,203972	0,10472521	0,3912657	0,2736271	1,251265748	1,401266	0,2816271
0,212942	0,14691288	0,3926591	0,2916859	1,252659072	1,402659	0,3006859
0,224695	0,18910055	0,3968821	0,3097448	1,25688213	1,406882	0,3177448
0,239036	0,23128821	0,4063291	0,3278036	1,266329096	1,416329	0,3358036
0,25475	0,27347588	0,4210437	0,3458624	1,275043686	1,425044	0,3628624
0,272104	0,31566354	0,4374462	0,3639212	1,29744621	1,447446	0,3829212
0,299092	0,35785121	0,4570502	0,3819801	1,31705017	1,46705	0,4019801
0,339979	0,40003888	0,4824229	0,4000389	1,342422885	1,492423	0,4500389

 

В данной работе необходимо оценить достоверность по­лученных значений мер риска. В результате вычислительного эксперимента, вышеописанные условия выполнялись, следо­вательно, параметры достоверные:

Значения меры не имели систематических ошибок в сто­рону завышения или в сторону занижения относительно зна­чения математического ожидания,

при увеличении величины выборки полученные значе­ния сходятся к матожиданию по выборке,

дисперсия по мере ХГ была наименьшая.

Таким образом, выполнение данных требований свиде­тельствует о достоверности оценки и решение можно считать устойчивым.

В работе приведено моделирование оптимальных порт­фелей с помощью меры риска ХГ и, осуществляется числен­ный эксперимент на реальных наборах акций. В результате построения мер риска, была определена мера, позволяющая добиться наибольших значений доходности при минимиза­ции риска. Была проведена проверка достоверности получен­ных значений мер риска.

Методика Базеля III. 5 обязывает банки, при нежелании использовать стандартные методики оценки риска, использо­вать свои собственные модели оценки и управления рисками. Новые стандарты, в частности, предусматривают повышенные требования к качеству и достаточности капитала финансовых организаций. Тогда, предложенная в этой статье мера риска Хазендонга-Говарца может позволить банкам создавать соб­ственные методики для более эффективного управления си­стемой по поддержанию достаточности капитала и управле­нию рисками.

Весь исторический экономический опыт показал, что краеугольным камнем успешного развития и процветания финансовых институтов являются предварительный анализ и стратегическая оценка. Особенно остро вопрос своевремен­ности и адекватности реакции встает в период экономической нестабильности, в котором мы сейчас находимся. Компании должны оставаться готовыми к последующим изменениям, и разработка новых мер измерения риска способна помочь адекватно реагировать на наступающие перемены. Рассмо­тренную в статье меру риска ХГ, при ее явных достоинствах, вполне можно рекомендовать для использования банкам и другим финансовым организациям.

ЛАКМАН Ирина Александровна – кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной математики и киберне­тики Уфимского государственного авиационного технического университета.

Статья опубликована в Евразийском юридическом журнале № 12 (91) 2015